Un nombre binaire est un nombre conforme à la numération positionnelle, représentant une quantité en base 2. Les deux uniques chiffres disponibles sont le 0 et le 1. On appelle les chiffres de la base 2 des « bits ».
Conversion du binaire au décimal
Cette méthode de décomposition permet de convertir en notation décimale (c’est-à-dire en base 10) un nombre binaire (c’est-à-dire écrit en base 2, c’est-à-dire composé de seulement deux bits). Dans l’exemple qui suit, le nombre binaire 110101 est en bleu et les rangs de chaque chiffre sont présentés en magenta :
| 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 |
|---|---|---|---|---|---|
| 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
1101012 = 1 × 25 + 1 × 24 + 0 × 23 + 1 × 22 + 0 × 21 + 1 × 20
= 32 + 16 + 0 + 4 + 0 + 1
= 5310
Cette manière de procéder requiert de connaître les premières puissances de deux comme un livret.
| 210 | 29 | 28 | 27 | 26 | 25 | 24 | 23 | 22 | 21 | 20 |
| 1024 | 512 | 256 | 128 | 64 | 32 | 16 | 8 | 4 | 2 | 1 |
Conversion du décimal au binaire
Méthode 1 · par les puissances de deux
Pour convertir un nombre donné en base 10 en un nombre donné en base 2 on commence ici par chercher la plus grande puissance de 2 plus petite ou égale au nombre décimal que l’on aimerait convertir.
Exemple avec le nombre décimal 115, la plus grande puissance de 2 avant de dépasser est 26 = 64. (Autrement dit : 27 = 128 > 115.)
On écrit donc : 115 = 64 + …
puis l’on continue la ligne en ajoutant des puissances de 2 tout en évitant le dépassement du nombre, ce jusqu’à ce que l’égalité soit correcte.
La prochaine puissance de 2 après 64 est 32. Est-il possible d’ajouter 32 sans que la somme dépasse 115 ? Réponse: oui. Je note donc : 115 = 64 + 32 + …
La prochaine puissance de 2 après 32 est 16. Est-il possible d’ajouter 16 sans que la somme dépasse 115 ? Réponse: oui. Je note donc : 115 = 64 + 32 + 16 + …
Et ainsi de suite. On trouve enfin que : 115 = 64 + 32 + 16 + 0 + 0 + 2 + 1.
Il suffit maintenant de traduire la série des puissances de 2 en une somme de puissances conformes à la numération positionnelle en base 2. C’est-à-dire :
115 = 1× 26 + 1× 25 + 1× 24 + 0× 23 + 0× 22 + 1× 21 + 1× 20
On obtient enfin le résultat escompté :
11510 = 11100112 → nous avons converti 115 (donné en base 10) en binaire.
Méthode 2 · par les restes de la division
Dans cette méthode, on divise le nombre décimal initial par 2 (division euclidienne, avec quotient et reste), puis on note le reste (qui sera toujours 0 ou 1, car 2 est le plus petit nombre entier supérieur à 1).
Exemple avec 115 :
115 ÷ 2 = 57, reste 1.
On continue de diviser le quotient obtenu par 2, en notant à chaque fois le reste jusqu’à ce que le quotient soit 0.
57 ÷ 2 = 28, reste 1.
28 ÷ 2 = 14, reste 0.
14 ÷ 2 = 7, reste 0.
7 ÷ 2 = 3, reste 1.
3 ÷ 2 = 1, reste 1.
1 ÷ 2 = 0, reste 1.
Une fois que le quotient est 0, on lit les restes dans l’ordre inverse de celui dans lequel ils ont été obtenus pour obtenir le nombre binaire.
Cela donne : 11100112.
Démonstration du fonctionnement de la méthode par divisions
Chaque fois que l’on divise un nombre entier par deux, il se passe une chose simple : si le nombre est pair, le reste est nul, et cela signifie que le nombre contient une puissance de deux complète sans qu’il reste d’unité isolée. S’il est impair, le reste est égal à un, ce qui veut dire que le nombre possède une unité supplémentaire en plus de ses multiples de deux. Le reste de la division indique donc le dernier chiffre du nombre en binaire, celui qui correspond à la place des unités.
La division enlève ce chiffre et réduit le problème au quotient. Par exemple, si l’on divise 13 par 2, on obtient 6 avec un reste de 1. Le reste 1 nous dit que l’écriture binaire de 13 se termine par un 1. Le quotient 6 correspond à ce qui reste du nombre une fois cette unité isolée. Pour trouver la suite, on applique à nouveau la division par deux. Avec 6 divisé par 2, on obtient 3 reste 0, ce qui signifie que l’avant-dernier chiffre binaire est un 0. Et ainsi de suite.
De proche en proche, chaque division révèle un chiffre binaire, en commençant toujours par le dernier, c’est-à-dire celui qui se trouve le plus à droite. C’est pourquoi, lorsqu’on note les restes au fur et à mesure, on doit les lire en sens inverse pour reconstituer correctement l’écriture binaire complète. Le procédé fonctionne parce que diviser par deux revient à décaler d’un rang la position des puissances de deux, et le reste garde la trace de ce qui ne pouvait pas être inclus dans ce décalage.
Ainsi, la répétition des divisions par deux permet de décomposer un nombre entier en une suite ordonnée de restes qui, lus de la fin vers le début, donnent précisément son écriture binaire.